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最も簡単な量子化法は固定サイズの部分範囲、すなわちビン幅（時には、”固 定ビニング（fixed binning）”として知られる）に基づくが、そこでは各入力 に付随する値の全体範囲が等間隔又は等サイズの部分範囲又はビンに分けられる 。, war 4-table games. もう１つの量子化、それは”統計的量子化（statistical quantization）”と 呼ばれてもよく、図２Ａで最も良く見られ、ここでは”適合的量子化（adaptive quantization）”と呼ぶが、は値の該範囲を不等サイズの部分範囲に分けるこ とに基づく。もしデータがデータビン２１０により示す様に均一に分布されてい れば、該ビンサイズは大体等しい。しかしながら、該データ分布がクラスター（ clistered）されるならば、該ビンサイズは、ビン２２０により示される様に、 各ビンがデータ点の殆ど等しい数を含むように適合的に調整される。図２Ｂに見 られる様に、各部分範囲、又はビンのサイズは、入力範囲を等しい百分位数（pe rcentile）の部分範囲に分け、それらの百分位数を該ビン２４０を作るフイーチ ャー値の範囲上に射影（projecting）することにより、各入力の累積確率分布（ cumulative probability distribution）２３０（又はヒストグラム）に関係付 けられてもよい。 この方法で、各入力上のグローバル情報がその入力上で該データを適合的に量 子化するため使われる。この方法では、各入力は別々に量子化され、すなわち、 量子化は入力毎ベースで行われる。該部分範囲又はビンのサイズ（幅）は与えら れた入力内で一般に不均一で、その入力の累積確率分布の形を反映していること を注意すべきである。該部分範囲のサイズは入力から入力へと変わってもよい。 適合的量子化（適合的ビンニング）は情報を含まない空の入力の部分範囲を有す る確率を減らすが、それはさもないと最終モデル内の情報ギャップとなる。 与えられた入力に対する該部分範囲、又はビンのサイズは部分空間から部分空 間へと変わってもよい。すなわち、或る入力は、それらが高い次元の部分空間で 現れる時より低い次元の部分空間で現れる時の方がより精細な解像度のビニング を有してもよい。これは或る全体のセルの解像度（セル当たりの点の数）は、デ ータの意味のある量がセル内で一緒にグループ化又はビン化（binned）されるよ うに、望まれる事実のためである。セル数は次元数に指数関数的に比例するので 、より高い次元のフイーチャー部分空間は、セル当たりの望ましい平均の点の数 を保持するように、個別入力用により粗いビニングを使用する。データ量子化が モデル化の方法のローバストさ用に顕著な意味を有するのは該データの残りから の外れ値の点の偏差の大きさが該量子化（ビニング）過程中に抑制されるからで ある。例えば、もし入力値が最高部分範囲（ビン）内の上限を越えるなら、それ はその値に無関係にその部分範囲（ビン）内に量子化（ビン化）される。 ここで使用される”フイーチャー部分空間”は１つ以上の入力の組み合わせと 規定される。フイーチャー部分空間の画像的表現が創られてもよく、それも又簡 単に”部分空間”としてここでは呼ばれる。該部分空間は好ましくは複数の”セ ル”に分けられるのがよく、該セルは該フイーチャー部分空間を含む入力の部分 範囲の組み合わせにより規定される。好ましい実施例では、データ量子化は更に 、（前の説明の固定的か又は適合的か何れかの方法を使用して）入力当たりの部 分範囲（ビン）の数を規定するか、又は、代わりに、該フイーチャー内のセル当 たりデータ点の平均数を規定するか、何れかで指定される。これは適合的量子化 法の多次元的拡張と見られる。 図３Ａ、３Ｂそして３Ｃを参照すると、固定サイズのビニングがそれぞれ１， ２そして３次元フイーチャー部分空間で示される。該データ集合は各々が４つの 入力、又はフイーチャーを有する４つのデータ点、ＤＰ１−ＤＰ４から成る。該 データ集合は全ての３つの図で同じである。該データ点はどのフイーチャー（又 はフイーチャー組み合わせ）が選択されるかにより特定のセルに分類される。図 ３Ａでは、もし該１次元部分空間が第３の入力（左端のビットに対応する第１入 力を用いて００１０と呼ばれる）を表せば、ＤＰ１とＤＰ４はセルＣ１に分類さ れ（ＤＰ１＝．５、ＤＰ４＝．３）、ＤＰ２とＤＰ３はセルＣ２に分類される（ ＤＰ２＝１．２、ＤＰ３＝１．７）。もし、しかしながら、該１次元部分空間が 第２入力（０１００）であると取られるなら、ＤＰ２とＤＰ４はＣ１に分類され （ＤＰ２＝．７、ＤＰ４＝．４）、そしてＤＰ１とＤＰ３はＣ２に分類される（ ＤＰ１＝１．５、ＤＰ３＝１．９）。 図３Ｂでは、もし該部分空間が第１と第２入力（１１００）により指定されれ ば、ＤＰ１はセルＣ２に分類される｛ＤＰ１＝（．５、１．５）｝が、なお該第 １と第３入力（１０１０）により発生される部分空間ではセルＣ１に分類される 。図３Ｃでは、ＤＰ１は第１、第３そして第４入力（１０１１）で規定される部 分空間ではセルＣ１に分類され、第１、第２そして第４入力（１１０１）で規定 される部分空間ではセルＣ２に分類される。 該入力に基づく該システムの出力の予測で或る精度を有するフイーチャー組み 合わせを同定することが望ましい。特定の入力組み合わせ、又はフイーチャー組 み合わせは多くのユニークな部分空間を規定することが上記例から分かる。有限 数の入力シーケンスを仮定すれば、の部分空間の数は勿論有限であるが、該数は 入力数と共に極めて急速に成長する。 フイーチャー選択のタスクは入力−入力の相互作用の可能性により複雑化する 。この様な相互作用が存在すれば、個別には情報貧弱な入力が高い情報エントロ ピーを有する入力の組み合わせを作る相補的な仕方で組み合わされ得る。かくし て、入力−入力相互作用の可能性を無視するどんなフイーチャー選択方法もモデ ル化過程から有用な入力を排除する可能性があり得る。この制限を避けるために 、好ましい方法は、入力−入力関係を本質的に含み、該データ内にあるかも知れ ぬ何等かの非線形性を非常に自然に処理する、情報理論ベースのフイーチャー部 分空間を選択する取り組みを使用する。 加えて、該方法は利用可能な部分空間のエグゾースチブ（exhaustive）な探索 を含むが、それが好ましくは情報エントロピーのメザーを適応度関数として使う 遺伝的発展型アルゴリズム（genetic evolutionary algorithm）を含むのがよい 。 ３．遺伝的発展と情報エントロピーを使用するフイーチャー部分空間選択 ここで説明する方法は好ましくは”遺伝的アルゴリズム”として公知の比較的 最近のアルゴリズム的取り組みを使用するのがよい。ジョンエイチ．ホランド（ John H. Holland）｛１９７５年発行、アナーバー、ミシガン大学プレス（Ann A rbor:the University of Michigan Press）、”天然及び人工的システムでの適 合（Adaptation in Natural and Artificial Systems）”で｝により定式化され 、又デー．イー．ゴルドバーグ（D. E. Goldberg）｛１９８９年発行、アデイソ ン−ウエズレーパブリッシングカンパニー（Addison-Wesley Publishing Compan y）、”探索、最適化及び機械学習に於ける遺伝的アルゴリズム（Genetic Algor ithms in Search, Optimization and Machine Learning）”で｝及びエム．ミッ チェル（M. Mitchell）｛１９９７年発行、エムアイテープレス（M.I.T. Press ）、”遺伝的アルゴリズム入門（An Introduction to Genetic Algorithms）” で｝により説明された様に、該取り組みは最適化問題を解く強力で、一般的な方 法である。遺伝的アルゴリズムの取り組みは次の様である。 （ａ）問題の解空間（solution space）をＮビット記号列（N-bit strings） の母集団（population）としてエンコードする。ポピュラーなエンコード用フレ ームワークは２進記号列（binary strings）に基づく。該ビット記号列の集まり は”遺伝子プール（gene pool）”と呼ばれ、個別ビット記号列は”遺伝子（gen e）”と呼ばれる。 （ｂ）目前の問題に対する何等かのビット記号列の適応度（fitness）を測定 する適応度関数（fitness function）を規定する。換言すれば、該適応度関数は 何等かの起こり得る解の良さ（goodness）（又は精度）を測定する。 （ｃ）ビット記号列のランダムな遺伝子プールで最初にスタートする。それを 通してより”適した（fit）”ビット記号列が”より適した（fitter）”子供（o ffspring）の新しいプールを作るために優先的にメートする、選択的再組み合わ せ（selective recombination）及び突然変異（mutation）の様な、遺伝子から 得られたアイデアを使用することにより、より適したビット記号列の次の世代が 発展出来る。”適応度（Fitness）”は情報エントロピーのメザーにより決定さ れる。突然変異の役割は起こり得る解の探索空間を拡張することであり、該解は 改善された度合のローバストさ（robustness）を創る。 これらの側面の各々を下記で更に詳細に論じる。 ａ．Ｎビット記号列の母集団としての解のエンコーデイング（Encoding solutio n as a population of N-bit strings） 最適問題を解くために遺伝適アルゴリズムを使う最初の過程は、ビット記号列 として表される解となる方法で該問題を表すことである。簡単な例は４入力と１ 出力を有するデータベースである。入力の種々の組み合わせが４ビット２進記号 列により表される。該ビット記号列１１１１は、全ての入力が該組み合わせ内に 含まれる入力組み合わせ、又はフイーチャー部分空間を表す。最左ビットを入力 Ａ、第２の最左ビットをＢ、第３の最左ビットを入力Ｃそして最右ビットを入力 Ｄと呼ぶ。もしビットが値１に換わるなら、それは対応フイーチャーが該組み合 わせ内に含まれるべきことを意味する。逆に、もしビットが値０に換わるなら、 それは対応フイーチャーが該組み合わせ内で排除されるべきことを意味する。 同様に、該ビット記号列１０００は唯フイーチャーＡが含まれ、全ての他の入 力が排除される入力組み合わせを表す。この方法で、１６の全可能性からのあら ゆる起こり得る入力組み合わせは４ビット２進記号列により表される。一般に、 もしモデル化されるデータベースにＮ入力があるなら、全ての起こり得る入力組 み合わせはＮビット２進記号列を使用して表される。４次元のフイーチャー部分 空間を表すサンプルの２進ビット記号列は図４に示される。図４の該ビット記号 列はＤビットを有し、その４つだけが”１”のビットである。該”１”のビット は４つのフイーチャーＦ１，Ｆ４，Ｆｉ、そしてＦＤと対応する。該変数ｉとＤ は一般化された場合を表すために使用される。更に進んだ例が図３Ａで示される が、そこでは４入力システムを表し、１つの”１”ビットを有する、４ビット記 号列が１次元フイーチャー部分空間に対しコード化する。２つの”１”ビットが 図３Ｂに見られる２次元部分空間に対しコード化し、３つの”１”ビットが図３ Ｃで見られる３次元部分空間に対しコード化する。 ｂ．ビット記号列の適応度を測定するための適応度関数の規定 最適化問題への解として最適ビット記号列を発展させるために、発展過程をド ライブするため使用される定量評価（metric）を規定することが必要である。こ の定量評価は遺伝的アルゴリズムでは適応度関数と呼ばれる。それは与えられた ビット記号列が如何に良く目前の問題を解くかのメザー（measure）である。適 当な適応度関数を規定することは該ビット記号列がより良い解へ発展することを 保証する重要過程（critical step）である。
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